Draft letter from Newton to John Wallis containing typographical corrections

<1r>

Analysin per quantitates flaentes \fluentes/ et earum momenta {illeg} in æquationibus tam infinitis quam finitis Newtonus \in his Epistolis/ Regulas quatuor reducit generales reducit, Regula

In his Epistolis Newtonus quatuor Regulas quat{illeg}|uo|r quarum hæc est prima. M{illeg} Fluens per hanc Regulam ex æqua\tione qua/cunqꝫ non affecta eritur extrahitur

In y^e margin of New M^r Newtons first Letter write

|x| Regula prima generatis extrahendi fluentes quantitates \indeterminatas/ quas Newtonus fluentes vocat. Conversionem binomij in hujusmodi seriem anno 1669 Newtono innotuisse pate{illeg}|t| in Analysi supra impressa pag 19 lin 19, 20.

|x| Regula secunda generalis extrahendi fluentes. Regula prio{illeg}|r|e fluentes ex æquationibus non quibuscunqꝫ non affectis, hac Regula ex affectis extrahuntur.

|x| Ad p 634 l. 15. Inventio Regulæ Primæ

|x| Ad p 635 l 30 Inventio Regulæ Secundæ

Ad p 636 l 19 Prodijt liber Mercatoris anno 1668. Anno proximo D. Barrow eundem accepit a D. Collins et cum {I} Newtono commun remisit Analysin Newtono supra impressum.

Ad p 636 l 28 Hujus Tractatus meminit Collinius in Epistolis \duabus/ supra impressis p 27.

Ad p 636 lin ult. Hoc est, Data æquatione quotcunqꝫ fluentes quantitates involvente{illeg}, fluxiones invenire; et vice versa. Pri{illeg}|m|a pars Problematis solvitur per Regulam p{illeg}tam \binomij/ initio Epistolæ Superio{illeg}|r|is Newtonianæ traditam initio hujus demonstratam. Nam si secundus terminus \secundus/ binomij sit momentum \termini/ primi terminus secundus serieri {sic} in quam Dignitas binomij per {illeg} hanc Regulam illam resolvitur erit momentum Dignitatis \Binomij/. Secunda pars \Problematis/ solvitur per regulas quatuor regrediendo a fluxionibus ad {fluentes} \quod fieri solet per quadraturam {illeg} figurarum/ et ubi hæretur extrahendo fluentes {illeg} per Regulas quatuor quarum duæ jam traditæ sunt, duæ aliæ sub finem hujus epistolæ ponuntur. & si opus est quadrando {Curvam} cujus Ordinata est {fluens} {illeg} quantitas illa fluens

Ad p 637 l 1. \Hujusmodi series Newtono ante annum 1669 innotuisse patet per {illeg}Analysin supra impressam pag 18 lin 31. [Inveniri autem/ Inveniri possunt plures hujusmodi series assumendo seriem quam{illeg}|l|ibet arearum quæ ordinatarum ad Curvas quæ quo per finitas æquationes quadrari possunt & interpolando per method{illeg}|o|{illeg} Newtoniana{illeg} sub initio hujus Epistolæ exposita interpolando seriem utramqꝫ arearum.]

Ad p 639 lin. 20. Ex his patebit Propositiones Newtoni de Quadratura Curvarum diu ante annum 1676 inventas fuisse.

Ad p. 640 lin. 7 {N3.} Dominus B{illeg}ker\rouncker/ Hyperbolam per has series \$\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\frac{1}{56}+\frac{1}{90}+\text{\&c}$ et/ {illeg} $\frac{1}{6}+\frac{1}{20}+\frac{1}{42}$$+\frac{1}{72}-\text{\&c}$ et {illeg} $\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\frac{1}{56}+\text{\&c}$ id est per hanc $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\text{\&c}$ (conjunctis binis terminis) primus omnium quadravit. Mercator hanc quadraturā aliter demonstravit et ampliavit. Greg{illeg}|o|rius \easdem/ demonstravit Ge\o/metrice & hanc seriem $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\text{\&c}$ {illeg} \communicavit/ pro circulo. invenit Newtonus invenit \communicavit/ hanc $1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$$-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\text{\&c}$. [Geometræ invenerunt \& geometrice/ hanc {illeg} \demonstrarunt./ Hoc Theorema, quod summa terminorum, geometrice proportionalium in infinitum, est ad terminum primum et maximum, ut hic terminus ad differentiam inter terminos duos primos. Mercator demonstravit hoc \id in/ Theorema Arithmetice per divisionem, {illeg} sed methodum aliquam generalem quandi|r|andi {sic} \Curvas/ minime protulit. Gregorius ejusmodum diu methodum (etiam cognito Mercatoris invento) diu quæsivit. Newtonus ejusmodi methodum primus invenit primus cum amicis communicare cœpit: Et invenit quidem non per Divisiones \et extractiones radicum simplicium/ sed per interpolationes serierū

Ad p. 644 lin. 17. Id est, Una methodus consistit in extractione fluentis \quantitatis/ ex æquatione {involventem} fluxionem ejus: Altera \tantum/ in assumptione seiei {sic} pro quantitate qualibet incognita, ex qua cætera commode derivari possunt, et in collatione terminorū <1v> homologorum æquationis resultantis, ad eruendos terminos assumptæ seriei.

<2v>

& anno 1665 inventas fuisse patet ex ijs quæ hic dicta{illeg}|s| sunt.
Conversionem \Resolutionem/ Binomij in seriem {illeg} & extractionem radices affectæ resolutionem \in seriem supra descriptam ut et resolutionem/ \& resolutionem/ æquationis affectæ \in {illeg}/ Newtono anno 1669 Newtono innotuisse {illeg} patet ex Analysi supra impressa pag. 19 lin. 19, 20, & pag 9, 10, 11, 12. Et has \Easdem/ operationes anno 1665 inventas fuisse hic dicitur est di|a|tum proxime ante pestem ingruentem \id est anno 1665/ inventas fuisse ex ijs quæ hic dicta sunt colligitur.

p. 636. l. 16. Geometriæ priores invenerunt et passim \geometrice/ demostrarunt hanc {illeg} P{illeg}|ro|positionem q|a|d Summa terminorum progressionis {illeg}|G|eometricæ in infinitum pergentis est ad terminum primum et maximum, ut hic terminus ad differentiam duorum terminorum primorum. Merc Hanc Propop|s|itionem Mercator demonstravit Arithmeth{illeg}tice per Divisionem, sed method et sic viam stravit ad methodum \generalem/ quadrandi Curvas per divisionem \sed methodum, non protulit./ Gregorius ejusmodi methodum vix tandem invenit, sed Newtonus

{illeg} \Idem/ Demonstratur per multiplicationem \Arithmetice multiplicando/ extremo|a|rum et medio|a|rum. Demonstravit Mercator per \arithmetice/ divisionem rectanguli \dividendo rectangulū/ sub medijs et sic viam stravit per extremum ultimum, & sic viam stravit ad methodum \meth{illeg}|od|um/ generalem quadrandi {illeg}icas per {illeg} solvendi Problemata per divisionem perpetuam sed methodum not|n| protulit Gregorius ejusmodi methodum vix tandem invenit. Newtonus ejusmodi methodū invenit per interpolationem serierum et postea divisionibus et extrationibus radicū ut {illeg}g notionibus usus est.

p 648 l. {illeg}|28|. Ad verba Idemqꝫ est de cæteris potentijs \nota/, Id est, si secundus terminus {illeg}|b|inomij sit differentia primi \termini/, secundus terminus potet|n|tiæ binomij erit differentia potentiæ binomij. Hoc est fundamentum methodi differentialis a Leibniti{illeg}|o| {illeg} \jam positum. ponitur/,|.| {illeg}|H|oc erat |idem| fundamentum methodi \suæ/ Newtoni|u|s in \ejus/ Analysi {illeg} \{illeg}/ Anno 1669 positum \posuerat in Analysi supra impressa/, pag 19 {illeg} {illeg} /eodem\ calculo |quo| Leibnitius \jam/ colligit differentias potentiarum, eodem Newtonus antea collegerat momenta differentiarum pos|t|entiarum, {illeg} et \insuper/ in ep{illeg} epistola superiore resolvendo binomium in potentiam binomij in seriem, d{illeg}it inventionem \{illeg} {illeg} dede{illeg}|r|at/ secundū terminū seriei id est inveni \qui terminus est/ {illeg} \{illeg}/ momentū potentiæ \binomij/, {illeg} quod momentum a Leibnitio Differentia{illeg} vocatum.

Leibnitius In epistola superiore gaudet Leibnitus Leibnitij \Leibnitij \Gaudet Leibnitius sua/ Amsteledam/ 28 Novem. data 1676 data de methodo tangentium {illeg}|a| Slusio {illeg} publicata semel atqꝫ iterum locutus est quasi nondum perfecta, Viderat utiqꝫ epistolam Newtoni \Anno 1672/ hac methodo scriptam Et per Tabulam quandam Tangentium perfici voluit. Viderat utiqꝫ Epistolam Newtoni de hac methodo anno 1672 scriptam. {illeg} Iam legebat \etiam/ quæ Newtonus in ultima Epistola {illeg} de hac methodo scripserat et gaudet se in methodum incidisse qua methodus à Slusio publicata perficitur quæqꝫ methodo illa amplior est & non hæret ad {illeg}ratur hæret ad radicales irrationales, et quadraturas reddit faciliores. Quæ omnia Newtonus de methodo sua dixerat.
$\mathrm{v}=\sqrt{}\mathrm{z}:\overline{1+\mathrm{b}\mathrm{y}+\frac{\mathrm{c}}{2}{\mathrm{y}}^2}$. ${\mathrm{v}}^{\mathrm{z}}=1+\mathrm{b}\mathrm{y}+\frac{\mathrm{c}{\mathrm{y}}^2}{2}$. x
$\stackrel{.}{\mathrm{z}}{\mathrm{v}}^{\mathrm{z}-1}=+\mathrm{b}+\mathrm{c}\mathrm{y}+\mathrm{d}{\mathrm{y}}^2+\mathrm{\&c}\times \stackrel{.}{\mathrm{y}}$
\Congruunt in modis operandi &/ Differunt solum in rerum nominibus. Quæ Leip|b|nitio est \sunt/ quantitas differentialis et Differentia ejus Newtono sunt Quantitas fluens & momentum ejus
* Persimilis{illeg} calculus qu{illeg} Newtonus momenta Leibnitius differentias colligit & differant \discrepant/ solum in rerum nominibus. Newtonus autem resolvendo in Epistola superio{illeg}|r|e resolvendo potentiam in seriem docuit \universaliter/ invenire momentum \potentiæ/ quia docuit \universaliter/ invenire secundum terminum seriei.

Pag      lin      Gaudet L. se \in/ methodum incidisse cum methodo Newtoni per omnia quadrantem.

Hoc idem fecit D. Barrow{illeg} in ejus Lect × anno 1669 impressa. Quasi Leibnitius nesciret hæc Newtonum \aliquid in his rebus/ prius præstitisse idqꝫ per eandem methodum a se \prius/ inventam, vel sciret se aliquid {illeg} Newtonianis adjecisse.